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函数的导数(一阶)等于1

函数的导数(一阶)等于1P16
函数的导数(一阶)等于1P17
函数的导数(一阶)等于1P18

选自《运动论》第16页

函数的导数(一阶)等于1
任意函数y=f(x)的一阶导数
y=dydx=1
不是为取得其它关系设定的。这里所说y=1是一般情形中的证明,证明任
意函数的一阶导数必然等于1,是普遍规律。
证明:
(1)预备定理
e=limΔx→0
(1+Δx)1Δx
=2718281828459045…(纳别尔数)
ε
=limΔx→0(1
-Δx)1Δx
=0367879441…
=1e
e·ε=
limΔx→0(1-Δx2)1Δx
=1
(2)y=dydx=tgθ
=sinθcosθ
=-(cosθ)cosθ
=ddθ(-lncosθ)
=limΔθ→0-[lncos
(θ+Δθ)-lncosθ]Δθ
=limΔθ→0(1Δ
θ)ln[cosθcosθ(θ
+Δθ)]
=lnlimΔθ→0[
cosθcosθ·cosΔθ-sinθ·sin
Δθ]1Δθ
其中
limΔθ→0cosΔθ=1
limΔθ→0sinΔθ=
Δθ(一阶无穷小)
limΔθ→0tgθ·sin
Δθ=Δθ(仍为一阶无穷小)
则y=lnlimΔθ→0
(11-Δθ)1Δ
θ
这里11-Δθ=1+Δ
θ1-Δθ2
因limΔθ→0(1-Δθ
2)1Δθ=1
则y=lnlimΔθ→
0(1+Δθ)1Δθ
=lne
=1
当然,如果y是复合函数,则有二阶以上高阶导数,高阶导数并不等于1。
因此,
复合函数为y时,有
y=y(lny)—

—
(y/y)
一般函数为y时,有
1=y(lny)——(1

/y)
使用(y/y)、(1/y)两式可轻易求得原函数。
例,已知y=nxn-1,求y
令y=1
nxn-1=1
nxn·1x
=1
根据(1/y)式
nxn(lnx)=1
xn(lnxn)=1
仍根据(1/y)式,得
y=xn
例,已知y=uv+vu,求y
令y=1
1=uv+vu
根据(y/y)式
1=u[v(lnv)]+v[u(

ln
u)]
=uv[(lnv)+(lnu)]


=uv[lnv+lnu]
=uv(lnuv)
根据(1/y)式
y=uv
这是使用(1/y)、(y/y)两式求取原函数的一种新尝试。是“原函
数统一公式”的另一形式。参考本书“数学的关联”一节。
这两个式子的作用又是双向的,可求原函数,同时又可求导数。