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用初等方法不能积分的积分

用初等方法不能积分的积分P11
用初等方法不能积分的积分P12
用初等方法不能积分的积分P13
用初等方法不能积分的积分P14
用初等方法不能积分的积分P15

选自《运动论》第11页

用初等方法不能积分的积分
“用初等方法不能积分”的积分在本文中却可以用初等方法积
分。
下面四个积分是常用积分法不能积分的积分:
∫dvlnv∫lnlnv·dv
∫eu·duu
∫eu·lnu·du,
这里使用u、v与使用x完全一样,只是为了“计算”中的方便。
我发现,这四个积分两两成对出现在“复合指数函数的微分”公式中:
d(uv)=v·uv1
·du+uv·lnu·dv
当u=lnv,v=eu时
分两种情形代入公式
(v),d(lnv)v=v(lnv)v1·d(lnv)+(lnv)v·lnlnv·d
v
=(ln
v)v[v·dvlnv·v+lnlnv·dv]
因d(lnv)v
(lnv)v
=d[ln(lnv)v]
则ln(lnv)v=dvlnv+
lnlnv·dv
该式中的两个积分都是不能单独积得的,然而它们的和是个“复合指数函数”的对数。
(u),d[u(eu)]
=eu·u(eu-1)du+ueulnu·d(eu)
=u(eu)[e
u·duu+eulnu·du]
因d[ueu]
u(eu)=d[ln
u(eu)]
则eulnu=
e
u·duu+eu·lnu·du
同样,该式中的两个积分仍不能单独积得,但它们的和仍是复合指数函数的对
数。
这四个积分,两两同时出现在复合指数函数微分公式中(当u=lnv,eu=v时)的规律启示我们,每一个积分都
是ln(lnv)v或eulnu的一部分,且与成对的另一个积分之和保持守恒(恒
等于ln(lnv)v或eulnu)
因此可取1=
dv
lnv
ln(lnv)v+
∫lnlnv·
dvln(lnv)
v——∫(1)
对等于恒等式
1=cos2θ+
sin2θ
解出cosθ与sin
θ则可得各积分结果。所谓“解cosθ
、解sinθ”,需以ln(lnv)v或eulnu表示cosθ、
sinθ,需要将圆函数变换成双曲函数,知
道两种函数的关系才可。
圆函数是如下方法变换成实数双曲函数的:
1-sin2θ=
cos2θ
(1-sinθ)(1+si
nθ)=cos2θ
1+sinθ1-sinθ=cos
2θ(1-sinθ)2
1+sinθ1-sinθ
=cosθ
1-sinθ
=1secθ-
tgθ
=secθ+tgθ
=secθ+se
c2θ-1——(S·S)
令(s·s)式为v·lnu
(s·s)=v·lnu>0
再对(s·s)式双方取自然对数,就是已有公式:
左方ln1+
sinθ
1-sinθ=a
rctgh(sinθ)
右方ln[sec
θ+sec2θ-
1]=arcco
sh(secθ)
有ln[vlnu]=arctg
h(sinθ)=arccosh(secθ)
得sinθ=tg
h[ln(vlnu)]
(vlnu>0)
secθ=1
cosθ=cos
h[ln(vlnu)](vlnu>0)
这种三角函数与双曲函数间的实数变换很实用,不像以往那种虚实数或实虚数
变换往往要随着概念的“变换”才会应用。
其它三角函数与双曲函数变换可由sinθ、
cosθ之变换按公式推得,这里省略。
由于我们不能确知∫(1)式中的两个积分项哪个是cos
2θ,哪个是s
in2θ,因此,∫(1)式中的前项是s
in2θ时,后项必是cos
2θ;反之,前项是cos2θ时,后
项则是sin2θ。单就一项积
分而言,相当于每一项积分都有两个解,完全相似于微分方程的多
解。
(1)∫
dv
lnv=(vlnu)·tgh2[lnlnuv]
vlnuco
sh2[lnlnuv]
(u=lnv)
∫lnlnvd
v=vlnu
cosh2[lnlnuv]
(vlnu)·tgh2[
lnlnuv](u=
lnv)
也有(2)式
1=∫
eu·duuvlnu+∫eulnu·duvlnu——∫(2)
=sin2θ+cos2θ
=cos2+sin2θ
(2)∫eu·
duu=(vl
nu)tgh2[lnlnuv]
vlnu
cosh2
[lnlnuv](v
=eu)
∫eulnudu=vlnucosh2[lnlnuv]
(vlnu)
tgh2[lnlnuv](v=eu)

每一个积分都有两个解(多解),这是允许的,应当说“用初等方法不能积分
”的积分可以用初等方法积分。
最后,必须阐明要将全式
∫(1)或∫
(2)看成是封闭式的恒等式。
1=sin2θ+cos2θ
积分结果才不会丢失。该式的含意是sin2θ与c
os2θ之和永远等于1。因此,
sin2θ≤1或cos2θ≤1,
sin2θ=tgh2[lnlnuv](v
lnu>0)
cos2θ=1cosh2[lnlnuv]
(vlnu>0)
对于每个积分,都起到(vlnu)之系数
的作用,因为每个积分都是(vlnu)的一
部分,这“部分”的大小,都由sin2θ或cos2θ
系数决定,但总和不变,等于(vlnu)。
〔积分表〕中举出一例,对照比较:
在“组合超越函数的积分”中,有积分

exlnxdx=exlnx-
exx
dx
对于该积分,有的〔表〕中明确写出“用初等方法不能积分”字样,其中包括积分
exxdx
有的〔积分表〕干脆用级数形式写出答案,当然这结果已不是“初等方法”所得。
现在,我们只需将该积公式中的x换成u。再移项就与(2)式全同,
eulnu=∫e
u·duu+∫eulnu·
du
1=∫eu·du
uvlnu+
∫eulnu·
duvlnu

(u=lnv)
(eu=v)
由此,我们的问题得到了佐证。参考本书“微积分的代数根源及其
代数化研究”一节。