对立统一规律的逻辑延伸

选自《运动论》84页
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对立统一规律基本内容：
（一）对立面的同一和斗争
对立面之间的同一和斗争是矛盾双方所固有的两种相反的属
性。
对立面的同一即矛盾的同一性，是矛盾双方相互依存，相互肯定的属性，它使
事物保持自身同一。
事物保持暂时的自身同一，使对立双方能够共处于一个统一体中，这是事物获
得发展的必要前提。
由于对立面之间相互同一的作用，双方能够互相吸取和利用有利于自己的因素
而得到发展，从而为扬弃对立即解决矛盾准备条件。
对立面的斗争即矛盾的斗争性，是矛盾双方相互排斥，相互否定的属性，它使
事物不断地变化以最终破坏自身同一。
由于对立面之间的相互斗争的作用，双方的力量对比和相互关系不断地发生变
化，当这种变化达到旧的矛盾统一体所不能容许的限度时，就造成旧矛盾统一
体的瓦解，新矛盾统一体的产生。
对立面之间的相互斗争是促成新事物否定旧事物的决定力量。
（二）同一和斗争的相互联结
同一和斗争是矛盾运动过程中两种不可分割的基本关系。
对立面的相互斗争并不是在双方之间划出一条绝对分明的和固定不变的界限。
在对立面的相互斗争中，有相互依存，相互渗透，结果使双方相互转化，相互
过渡。
同一也总是以差别和对立为前提的，没有离开斗争的同一。
在对立面的相互同一中，有相互对立，相互排斥。
斗争的结果发生对立面的相互转化，鲜明地表现着对立面的内在同一。
同一和斗争的相互联结就是相互制约，斗争制约同一；同一也制约斗争。
（三）斗争的绝对性和同一的相对性
对立面斗争的绝对性是指它的普遍性，无条件性。
斗争不仅贯穿于具体矛盾运动的始终，而且存在于新旧矛盾交替的过程中，是
促使旧矛盾让位于新矛盾的根本力量。
对立面同一的相对性是指它的条件性。
对立面的同一性是矛盾运动中相对稳定的、保守的方面。矛盾运动处于相对稳
定的状态即事物的量变状态；显著变动的状态即事物的质变状态，双方的同一
瓦解时的状态。参见：中国大百科全书，哲学卷。
对立统一规律的三项内容对于数学，主要起方法论的作用，其
世界观作用体现在使用这种方法论的人如何指导数学时的自然观。
但是，人类文明发展史与社会发展史造成的辩证世界观产生于数学之后，并不
说明数学是分立于辩证世界观之外的独立科学。文明大厦总是有阶梯的，最后
的发展才能提高人的认识，了解数学形式的定量、定性关系能够被组成对立统
一规律，或表现对立统一规律。斗争的绝对性与同一的相对性原理就包括着量
变到质变的数学过程是最好的佐证。一旦构成思维逻辑的正确认识，对立统一规
律在数学中就会表达出来。
这样，则又构成一组辩证关系。对立统一律指导数学思想；数学思想的定性定
量关系又构成对立统一律的量变质变内容。两者相互包容，对立统一律占
据着积极的能动作用，成为辩证思想的中心内容，数学成为辩证思想的具
体运动形式。
在具体的数学关系中，辩证思维认识对立统一规律的焦点，首先集中于数学思
想基本概念的“零”上。
“零”于数学关系里只是绝对运动（斗争）中的“中介”点，它仅表现相对两
个量ｙ与ｘ的始末。记成
ｙ－ｆ（ｘ）＝０
这是今日数学定量关系的结构表现出来的。并且由数学知识已经获得，这种结
构与笛卡尔坐标相一致，两个量可以表示成横坐标（自变量，即原因量ｘ）和
纵坐标（因变量，即结果量ｙ）每一个ｘ的无穷小变动都对应产生一个ｙ的同
级无穷小变动，在坐标里形成空间曲线或图形。
因为斗争的绝对性质，数学只是辩证思想的形式这一点时刻不能忘记，所以斗
争的绝对性质的数学形式成为运动的绝对存在，同一的相对性质的
数学形式成为运动的相对存在。正是我们以前已阐述了的：
世界的运动是绝对的，没有“始末”，所以没有绝对零点，也没有终点。
世界的相对运动本身是绝对的，在世界的绝对运动中有的是无穷多个相对运动
，随处都存在相对运动，所以相对运动本身是绝对的，正是今日数学定量关系
结构表现出来的ｙ、ｘ与其０（零），笛卡尔坐标（以及其它坐标）的ｙ０ｘ
（一般坐标系的数学标记法），它们就是
ｙ－ｆ（ｘ）＝０
斗争的绝对性转化为运动的绝对性概念；同一的相对性转化为具体
量质变换运动的相对性。斗争的绝对性是能动（运动）的原因，因
为数学只是辩证思想的逻辑形式，不体现（体现不了）动因；同一
的相对性是“矛盾运动处于相对稳定的状态即事物的量变状态。”
非常明确地指出了就是相对运动的数学关系中进行的量变状态，不必更改符号
树立概念，同一的相对性就是ｙ－ｆ（ｘ）＝０式。
在树立了同一的相对性的数学形式后，斗争的绝对性（绝对运动）间接告知我
们，同一的相对性数学形式中两个量ｙ与ｘ间的数学形式仅表ｘ向ｙ的量变过
程和方式ｆ（ｘ），ｘ的来源与ｙ的去向仍然在运动之中，ｙ与ｘ只是绝对运
动中的一对中介量。从整体矛盾运动过程看，ｘ与ｙ并不与函数关系之外隔绝
，运动仍在继续之中，ｙ－ｆ（ｘ）＝０不过表达了一个相对运动，并不表达
整体矛盾运动中的所有相对运动。故知，还有
ｚ－φ（ｙ）＝０
等等，直到所有的相对运动完成一个整体矛盾中的运动。显然，ｙ又成为ｚ的
原因，ｚ是ｙ的结果。但旧矛盾解决后新矛盾又产生，绝对运动（斗争的绝对
性）仍在进行，其中又有新的同一的相对性的量变数学形式，但这是另一层矛
盾中的同一性的量变。旧的矛盾解决新的矛盾诞生，无止境地运动下去。
斗争的绝对性（运动的绝对存在）明确显示了一切数学定量关系都仅是同一的
相对性关系。而同一的相对性关系自身显示了受斗争的绝对能动影响和推动，
正在进行  着从量变到质变的过程，在未达到质变时，没有质的飞跃，此时相
对稳定之中，当达到某一质的飞跃，旧的事物消亡，新的事物诞生。
由于数学定量关系表达的同一，处在相对稳定之中，且只限于ｙ与ｘ两个量间的
变换运动，数学形式表达式也就可以被相对地理解限于
ｙ与ｘ“与世隔绝”的静止，特指ｙ与ｘ间的相对运动
。
这种“特指”的关键是把它们的“零”点视为一种静止，正如设立一个坐标系
，其原点（零点）是不动的一样，才能更好地观察ｙ与ｘ间的相对变换，它们
间的量变过程。事实上，现代的数学等式正是这种概念树立的关系。
又因为绝对运动意义下的“零”已经不是数学中“无”的含意，这一点是必须
突出明确的，以使我们辩证地理解到：
“绝对运动中的数学零，是矛盾对立统一体，对立两事物双方在连续不断向对立

面转换运动中，旧事物向新事物由量的过渡到质的变更之标志
。”
它标志着旧事物量的无，新事物量的完整。所以又知道，将“零”
看成“无”的概念恰  好是一对相对事物间量的开始或终了。
关于“零”的概念，恰如其份地集中了对立统一规律的斗争的绝对性与同一的
相对性原理，这是因为：
（１）“零”的新概念，具有动态特性，即旧事物向新事物转化。
（２）“零”的新概念，具有方向特性，即旧事物向新事物发展方向一定。
（３）“零”的新概念，是新事物的诞生点，同时又是旧事物的消亡点。
（４）“零”的新概念，既是量变的又是质变的；既是定量的又是定性的。
（５）“零”的新概念，标志了矛盾对立统一。
“零”的新概念的树立，不是哲学的需要，而是数学发展中出现悖论的需要。
一般地说，数学零的概念丰富了，必然数学的其它概念也要随之丰富起来，引
起链锁反应。
可以将
ｙ－ｆ（ｘ）＝０
叫做“零的显式”。
将ｙ＝ｆ（ｘ）
叫做“零的隐式”
显式在数学里已经早有更一般的表达：
∑ｉ＝ｉｉ＝０ｙｉ＝０
比如，力学中的“达兰倍尔拉格兰日原理”

∑ｎｉ＝１Ｘｉ－
ｍｉｄ２ｘｉｄｔ２δｘ
１＋Ｙｉｍｉｄ２ｙｉｄｔ２δｙｉ＋Ｚｉ－ｍｉｄ
２ｙｉｄｔ２δｚｉ＝０

又如，狭义相对论运动学的“光的传播方程”

∑（４）ΔＸγ
２＝Δｘ１２＋Δｘ２２＋Δｘ３２＋Δｘ４２＝０

隐式是最常见的记法。
无论显式还是隐  式，这种离不开等号的记法，都是“同一的相对性”的记法
，不包括“斗争（运动）的绝对性”，在这些表达式中包括的量的运动都是有
限数目的量的运动。数学的“运动”概念，主要是指加、减、乘、除四大类，
其它运动形式都可  化归这四类的衍生或派生。这些认识已经是数学常识，以
致很是完善，可以形成任何一种既定运动形式，用来表现两个或多个（有限）
量间的量变关系，完成矛盾对立统一体同一性的相对阶段运动。
一个单一的数学关系式，由于以往在它建立时仅仅依据数量关系的数学概念，
看不到运动的绝对存在，更不了解事物发展过程的对立双方就是数学关系的两
个量，不了解这种数量关系的斗争性与同一性，不了解数量关系的暂时性、相
对性、有条件性，于是数学自身的分支越来越多，门派也越来越多。每一种类
的数学关系，只要它的来源、自然现象或社会现象的根本关联未被发现，未形
成一种独立存在，则它树立的数学概念表面上好视独立存在就会形成一个新的
数学分支区别于其它分支。这里，有必要举出一个例子，用来透过现象看本质
：一个除式ｙｘ
若ｙ＞ｘ，且
ｙｘ＝Ｎ（Ｎ∈自然数）
时，只研究这种整数关系的分支，称为数论。其中包括整除问题，素数与合数
问题以及关于它们的定理等等。
若ｙ＜ｘ，且
ｙｘ＝１ｎ
（１≤ｎ≤ ＋∞）
时，只研究这种关系的真分数问题的分支，又划归为概率论：
若ｙ＝ｆ（ｘ）Δｘ＝ｘ２－ｘ１
Δｙ＝ｙ２－ｙ１
ｌｉｍΔｘ→０Δｙ
Δｘ＝ｄｙｄｘ
时，只研究两个相对量ｙ与ｘ的增量的无穷小之比的分支，称为微分学。
这种现象的本身不只由数学，而是由自然发展中的另一对立规律，或然偶然性
规律决定的，然后在数学中找到模型表达的。
自然现象与社会现象中的任何一种矛盾都是由对立的两个方面组成的。
一个原子系，我们是可以看成为整体的。在其内部存在着各种规律，主要是运
动规律。一旦人们将它内部物质存在“定了名字”（仍是小整体），各种名字
的物质则可以量的身份表达在数学运动关系之中，如引力定律等等。
另一方面，当无数个原子（系）出现在我们观察目标内时，由于同类原子的无
穷大（相对）数量的堆积，造成客观存在的一种全新结构的物质，且在新物质
内又以原子系为构造单元进行着另一层次的运动。此时若我们对观察目标内的
原子运动进行定性定量规律研究，原子的运动又以偶然性的运动方式出现在
我们的观察目标里，而这种偶然性是仅对目标的，其自身并不偶然，恰好是绝
对运动体现的必然。一般情形，观察目标的范围正是坐标系范围，观察原点是
坐标系的原点，于是能够建立定量的数学关系，原子的偶然出现机遇是以几率
为函数的。
我们可以“观察”原子为一个系统；又可以“观察”原子出现在“观察原点”
的随机量为几率，都因为“我们的观察原点”之不同而不同的、分界的。用物
理学的语言来说，是由于参考系的改变，人类的观察（衡量外界的原点和标尺
）所反映“出来”（在思维中）的数量关系也改变了。客观中的物质运动并不
因为人的观察的改变而改变。
显而易见，以原子为一个系统和以原子为单元对更大层次内无穷原子组成的系
统观察，是存在于两个层次中的运动事物，这种情形在数学里，恰似我们站  
在数轴中“１”点之上，向原点方向“观察”，是１内的小数；向增长方向“
观察”是１之外的数直至无穷大；这个１点本身，既是区间〔０，１〕的最后
封闭点，又是区间〔１，＋∞）的开始端点，属于双方，具有两
重性，具有“因果必然性”也具有“必然偶然性”。任何“一”件
事物，既具有自身的封闭系统性质，又具有组成更大系统中单元的
开放性质。
物理哲学称粒子的这两种性质为“单纯必然性”与“必然偶然性”。在量子
力学里，表现在物理量测量上，对微观粒子每一次测量能得到同一个物理量的
数值是不确定的，这是其偶然性表现。而多次测量得到的该物理量值却是
趋近定值的，这是其必然性表现。
但就单个量子来说，其物理量又是确定的，不是几率的，如光量子的普朗克常
数
ｈ＝Ｅ／γ
ｈ——普朗克常数，６．６２× １０－２７尔格·秒
Ｅ——能量
γ＝１ｔ频率（光波），ｔ振荡
周期对于单个量子来说该物理量又是必然的，或单纯必然的。
单纯必然性是对一个完整系统言出的；必然偶然性是开放系统的偶然性，也是必然的。
相对绝对观里，认为绝对运动的世界是由无数相对运动组成的，所以相对运动
本身是绝对的。在这种相对意义下，可以将完整（封闭）系统当成数量“１”
。开放系统可以被看成由零到无穷大。
由数学得知，两个区间
〔０，１〕与〔１，＋∞）
之内的数是完全对应的，在〔１，＋∞）中有的数都能以倒数形式在〔０，１
〕中找到，反之亦然。但一个封闭，一个开放，前者向内，后者向外。“１”
点自身是跨越两个区间的点。
从数学量的观点看，１是小数的最大数；又是整数的最小数。关键是我们要求
什么，为了什么，然后决定我们的立场，决定我们使用哪种系统，并不一概而
论。这个“立场”的数学观点就是参考系的原点（坐标原点）放在什么位置，用
来取得我们观察目标必须的位置。
可以取太阳系为封闭系统，并取该系统的“１”，取得观察目标的测量１是地球
绕日周期和日地距离（周期与距离两个量）时，就会找到该系统的规律
Ｒ３＝Ｔ２
Ｒ为各行星到太阳的距离
Ｔ为各行星绕太阳的周期。
所以，不能绝对地孤立地看数１，不能绝对地说１最小或最大，大与小取决于
我们的“立场”。
这对相对运动本身具有绝对意义；在斗争性是绝对的，同一性是相对的；运动
是绝对的，量变过程（同一性）是相对的指导原则下，一个数学关系也有两种
表达：
ｙ－ｆ（ｘ）＝０
是开放系统表达形式。
ｙｆ（ｘ）＝１
是封闭系统表达形式。
两者都是ｙ＝ｆ（ｘ），如同
Ｒ＝Ｔ２３
或Ｔ＝Ｒ３２
将Ｒ或Ｔ变成函数ｙ，Ｔ２３或Ｒ３

２看成ｆ（ｘ）。
同一个函数，可以有两种表达关系，一开放，一封闭，它们的作用是绝然不同
的。我们仍由物质运动实际出发，谈谈它们。
一个太阳系孤立存在于宇宙吗？能这样理解所谓“封闭系统”吗？反之，一块固
定小大的放射性物质，其放射物质可以触及无穷远吗？能这样理解所谓“开放
系统”吗？可以作出干脆回答，不能。应当说，这种理解方式是片面的，并不无道
理，也不全有道理，因为世界本身是如此的。刚好，数学“１”能够代表世界
运动的双重性质，其它数中“零”尚不显现这种性质，当我们理解绝对运动与相
对运动的关系后，重新扩大它的概念，再阐明一次。
已经阐明“１”既属于〔０，１〕封闭系统的最后封闭点，又属于
〔１，∞）开放系统的开端点，具双重性质。它以量的形式准确标注出一个运
动事物的完成，同时又以量的形式标注出运动并未结束，前一事物完成的同时
，也是后一事物运动的开始。
所谓“后一事物运动的开始”，从数量上是指第二个“１”的开端。可以理解
为现实世界中两个层次的“１”，后一个“１”指另一层次，称作第二层次。
第二层次的“１”可以相对于第一层次的“１”产生较之大些或小些的“数量
域”。比如，作出的数轴上，第一层次的“１”比第二层次的“１”大些。大
多少？可以按一定比率递减（或递增）。数学里已经有这种坐标系称为“对数
坐标”，它的第二个“１”（即从第一个１到２的距离）比第一个“１”小，
小多少，可按采取的对数关系来取。
如是，则做为衡量运动事物的数学量也就与实际物质世界运动中量间的关系更
贴切了。
但我们要指出的是，所取这种做法的原则都产生于矛盾对立统一律。时刻重复
大原则，可以使读者将哲学原理与数学建树的来龙去脉，母子关系，逻辑的层
次更加清晰：
（１）斗争（矛盾的）的绝对性，转化为运动的绝对性。
（２）同一的相对性，转化为相对运动的量变过程。
（３）矛盾的双方，在数学关系中以两个量出现，如ｘ与ｙ。
（４）矛盾双方的转化过程，具有因果必然性，也有必然偶然性；因果必然性
呈现封闭系统，必然偶然性呈现开放系统。
两个系统来源于客观实际，取决于人的观察位置才能反映出来。
（５）数学“零”集中表现了矛盾对立统一规律。是新旧事物交接的标志。
（６）数学“１”自身，具有封闭系统性质，又有开放系统性质。
（７）绝对运动由无数相对运动所连接，连续着，因而也由相对运动组成。
（８）数学“１”是第一层次的完结，同时又是第二层次的开始。“１”的这
个性质，与“零”是新旧事物交接之标志的性质完全一致。
当上述八点提示的概念集中于我们的思维，并加以综合概括，我们就会看到：
在绝对运动中连续着的相对运动，若以数学“１”表现每一个矛盾的完结，那
么第二个矛盾的开始也同时由同一个“１”进行了。这种情形无异于两个连续
的相对运动、两个量变关系、两个同一的相对性、两个矛盾的双方连续不断表
现出的绝对斗争、绝对运动。“１”是第一个相对运动层次的终结的同时又是
第二个相对运动层次的开始，即第二个相对运动层次的“零”。或者说，在两
个相连续的相对运动中，绝对运动使第一个相对运动的完结重叠在第二个相对
运动的开始中。“１”是两个相对运动连续的关节点。
因此数学“１”在绝对运动中的绝对意义是前项矛盾运动的终结，
完成，又是后续矛盾运动的开始“零”点。
即是完成（前项矛盾）又是开始（
后续矛盾），这是辩证法表现于数学的精髓。
至此，矛盾对立统一律与逻辑的衔接，表现为逻辑主义（罗素主义）的数学形
式已经完成。笔者接受数学是逻辑形式的观点。
请注意。花费许多周折，哲学思想转化为逻辑的关键是增加于数学中的绝对运
动、斗争的绝对存在新内容。以往的数学关系
ｙ＝ｆ（ｘ）
只是矛盾同一的相对性所反应的量变关系，未在数学关系中表达出绝对运动的
世界图象、模型。
绝对运动在数学中集中表现在“１”是量变过程的完成，旧事物的完结，同时
又是新矛盾中新事物的开始，是第二层次矛盾关系中量变的开始。两个相对关
系（运动）衔接在“１”点上。
把两个不同内容的相对运动数学关系衔接上，也就表达了绝对运动中两个相对
运动的一个衔接环，从而表达了运动永远继续。第二个衔接环，第三个衔接环
是同样的。不必赘述。
显然，我们使用的是封闭系统表示
ｙｆ（ｘ）＝１
第二个相对运动必然是
ｚΦ（ｙ）＝１
乃至第三，第四相对运动连续下去。
不妨这里加述一下必须的数学过程，以便认识的加深：
一个封闭系统的代表函数是圆函数，或者称商高定理
ｃ２＝ａ２＋ｂ２
表示成单位圆，是
１＝（ａｃ）２＋（ｂ
ｃ）２
＝ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ
但Ｃ在这种关系中是个常量，变量是ａ、ｂ。为了与封闭系统表示相一致，应取
ｂａ＝（
ｃａ）２１
＝（１ｃｏｓθ）２１
＝ｔａｎθ
封闭系统表示法是
ｙｆ（ｘ）＝１
什么时候（情况下）
ｂａ＝１
我们已经知道，在圆中θ＝π／４时，有
ｂａ＝１
这些数学关系和运动中的情形，在初中已经学到。是每个人都知道的常识性知
识。
因此，第二个相对运动若与第一个相对运动衔接。把函数关系ｆ（ｘ）、φ（
ｙ）等等只用一个单一字母表示这个量，如同令ｙ＝ｆ（ｘ）令ｚ＝Φ（ｙ）
一样，我们就会有
ｄｂ＝１
但这个第二个相对运动是存在于第二个π／４角上的。如此继续第三、第四个相对运动关系，刚好一周角有八个这种相对运动，每
个π／４内是同一个量（字母）。并且，若以逆时针方向为特定绝对运动的方
向，每个π／４角分界线将圆划成八个象限，跨越象限的数学关系就是除法关
系。（参见本书，微积分的代数根源及其代数化研究，６，大循环图象及运动
论的物理学结论。）