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数学的关联

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选自《运动论》第313页

数学的关联
世界是单纯或然的,因而具有必然偶然性呢?还是单纯必然的
,因而具有必然因果性呢?是平衡的还是非平衡的?是守恒的还是非守恒的?
至今各家都必须通过自己的数学形式逻辑来表达,来证明,并以其数学形式逻
辑为根源的中心,归纳或演绎自家对物质世界,或认定物质世界的运动形式,
或提高到哲学观念。
不论数学及其逻辑形式怎样分支,差异渐著,我们总知道数学存在统一根源外
,各分支间还存在着“数学的关联”,或者说,它们间存在相互的变换规律
,这种规律有的已被发现,有的尚待探求。假如人们逐一发现这些变换,从数
学的逻辑根源谈起,大家观点的逼近是有可能的。因此,与其讨论物理世界,
纵谈哲学观念,不如数学的逻辑演绎及其关联的探索来得干脆、有力、了然。
本文要谈及
(1)单纯或然世界与因果必然世界两种观念的数学逻辑根源及其关联。
(2)数学的代数关联。
现谈出一点个人的浅见。
(一)圆周率π与概率的关联
蒲丰(Buffon)的抛针求π法。
先在纸上划一簇等距离的平行线,然后取一根普通的缝衣针在这簇平行线上任
意丢掷,统计n次抛针中与平行线相交的次数m。
设相邻平行线间的距离为a,针长l(l<a),l
=AB,基中点M到最近的一条平行线
距离MN=X,交角为φ。
针与平行线相交的充要条件是X=KM·Sinφ≤l2·Sinφ
图14

因l<a,则0≤X≤a2
0≤φ≤π
以φ与x作直角坐标系,建立曲线
X=l2·Sinφ
图15
每抛一次针,都有一组(φ,x)
,因此,满足不等式x的部分即有阴影的曲线部分。由于抛针是任意的,试验结果
所对应的点(φ,x)落在某区域内的概率就可以用这个区域的面积与整个矩
形的面积(π×a2)的比值表示。阴影区域就是针
与平行线相交的点(φ,x),当抛针次数很大时形成的曲线划分出来的。
设针与平行线相交的概率为p,则阴影面积F
F=
π0l2·S
inφ·dφ
=-l2cosφπ
0=l故
p=la2·π
π=2lap——(π)p
只要求出(π)式中的p,就可求知π。在概率意义下,事件的频率m/n是
以事件的概率为极限的
limn→∞mn=p
当n(抛针次数)足够大时,
mn≈P
m是n次抛针中,针与平行线相交的次数,有
π=2ln
am——(π)m/n
(π)m/n式给我们一个用随机变量计算常量的公式和方法,虽然它
很初级,随着电子计算机的发展,大量的随机试验可以由计算机模拟完成,因
此可以利用随机变量计算定积分。蒙特卡罗法就是设定区域
0≤f(x)≤1
0≤x≤1求I=10f(x)
dx的方法。由几何概率知,随机变量点M在曲线
y=f(x)
下方的区域概率p刚好是该区域面积〔全区域(1×1)的面积等于1〕即
P=10f(x)dx
因P≈mn
则mn=10f(x
)dx
检验随机点(ξi,ηi)=1,2,3…n是否使不等式
ηi≤f(ξi)
成立,则可知
y=f(x)
区域内的点m, m/n即积分
10f(x)dx
的近似值。这项工作交计算机很快就可完成。
我们注意到一个简单的事实:
“定积分在特定限内等于一个相对数的极限值。即限定域为0≤x≤1,0≤
f(x)≤1的定积分等于某项概率”。
既然计算机能够替代人的行为去模拟试验给定积分表达一个相对数,那么就有
可能在更为广泛的逻辑形式中也存在这种关系,重要的价值不在于求π,而在
于“与圆周率相关的相对数m/n的多种形式与或然率建立的对等关系”,
即或然偶然逻辑与因果必然逻辑的关联。
下一节将进一步把概率的一般函数表达成这种“相对数”(三角函数)来显示
两种逻辑(或然偶然逻辑与因果必然逻辑)的关联,数学关系之间的变换。
(二)  或然率函数与三角函数(相对数)的关联
一般或然率函数可以下式表示
y=ex2
用对数求导法,将上式对x取导
y=y(lne-x2)
=y(-x2)
=y(-2x)
该微分方程的解是y=cosθ
y=sinθ
(1)当y=cosθ时
-(cosθ)cosθ=2x
--sinθcosθ=2x
tgθ=2x
(2)当y=sinθ时-
(sinθ)sinθ=2x
-cosθsinθ=2x
-ctgθ=2x
有解
cosθ=e-x2
sinθ=e-x2
表现了或然率函数与相对数(三角函数)的关联。
现用积分法再求,以示校验。将原或然率函数开平方
y12=e-x2
2
取自然对数
12lny=-x22
用积分公式
lny=∫dyy+c
xn+1n+1=∫Xndx+c
有12y0dyy=-X0xd
x
-dyy=2xdx
-yy=2x
显然y的解仍是cosθ、sinθ。
我们说圆函数的三角函数之所以是“因果必然”的,在于它们有恒等关系
1=cos2θ+sin2θ
从物理学角度说,这种关系即一种守恒关系,因此它是“封闭式”的关系,即
产生cosθ值是因为sinθ值的减少,或相反,但它们各自平方
的总和不变,恒等,正所谓“有因必有果”的可预见性质。
但或然率函数e-X2是开放型的,e是个无理又无理的数(纳别尔
数),x存在于-∞≤x≤+∞区间,在还不曾知道这种“关联”之前,公
式所描述的物理现象总是某种“必然偶然”的,只有同样的物理行为终止并达
到相当数次之后才能接近知道结果的范围,所以又是不可预见的。
随着人们实践经验的增加,科学哲学思想的逐步健全,尤其辩证逻辑被人们广
泛接受与广泛应用于实践活动,才发觉任何事物中构成矛盾对立双方的统一,
同一运动事物都具有双重性质。
数学尤其如此,因为概括说,数学可以是自然、社会、思维等等宇宙存在的对
称,任何一个大学科内都有质的与量的运动规律,只不过人们知道这种规律存
在于该学科的形式是怎样的,它的数学语言又是怎样的实在不多不够罢了。我
们所处的人类社会发展时代是刚刚为人们认识数学功能广阔存在的时代,认识
刚刚起步的时代,随着社会的发展,人类社会各领域里“识数”的人将越来越
多。
具体地说,数学内部“对称”现象的出现早已为人们认识、接受。“+”与“
-”,“×”与“÷”,微分与积分等等比比皆是。
当我们知道圆函数时,那是在笛卡尔坐标诞生之后,其实勾股定理早已出现。
随着微积分的完善、指数、对数的发展,人们又观察到虚数,从而发展了复数
以及与圆函数对称的双曲函数,才算完全了一种对称,中间过程何其长久,对
于人而言,要发现需时间间隔,而对数学而言,“对称”早就存在那里了。只
有后人把这个时间间隔有可能当成瞬间,排除“人的介
入”认识规律并系统接受,而且发觉了圆与双曲两函数间的关联和变换。
但是,用数学语言说明自然现象,解释和归纳社会将又是另一回事,同样也要
人们的认识过程,要人们的实践和经验以及验证。总之还要时间,尽管数学公
式已经摆在那里。如:
cosθ=e-X2
已经严密逻辑过程建立在这里,数学家可以数学眼光一目了然,然而要物理学
家承认量子运动规律的偶然性与天体运动规律的必然性是“对立统一”的,恐
怕一时还解决不了。因为除了每个人都具有成长过程形成的“固有惯性”需被
克服之外,还要时间来取得大量的实践验证。
为此,笔者还是愿意从多方面的数学关联,从理论的预见性上加以阐述。下节
从另一角度谈这一关联。
(三)  圆周率π、三角函数与或然率的多途径关联
计算圆周率π的方法也间接反应出这种关联。近代的反正切函数的级数式求π
,可获收敛迅速的效果。大家知道,公比为q的几何级数
1+q+q2+q3+…+qn-1+…
若|q|<1该级数收敛,有和式
11q=1+q+q2+q3+…+
qn-1+…
令 q=-x2,|x|<1,则
11+X2=1-X2+X4-X
6+…+(-1)n-1X2n-2+…
用积分公式
X0dx1+X2=Arctgx
X0Xndx=Xn
+1n+1
对上级数在其收敛区间-1<x<1积分,得:
Arctg
x=x-X33+X55-…+(-1)n-1X2n-12n-
1+…
|X|越近于0,该级数的收敛速度越快。已经获得的求π公式,如马丁公式
π4=4Arctg1
5-Arctg1239
我们注意到公式
v0
dv1+v2=Arctgv
若令θ=Arctgvv=2x
则
2x=tgθ
=sinθcosθ
=-(cosθ)cosθ
=-ddθln cosθ
各以dx、dθ为积分变量取定积分
x02xdx=-θ0(ln  cosθ)′dθ
x2=ln  cosθ
从而得到ex2=cosθ
即e∫y’dx=cosθ
与“二、或然率函数与三角函数之关联”一节所获关系全同。由多方面证明所
得或然率函数与三角函数之关联已不是偶然。
如果
cosθ=ex2
则有sinθ=1e2x2
tgθ=e2x21
ctgθ1e2x2-
1
secθ=ex2
cscθ=11e-2x
2
(四)物理实在与“数学关联”的关联
受因斯坦相对论的数学基础是由守恒原理展开的,即光速恒定原理:
r=CΔt
其中,C为光的速度,Δt为时间差,r是光在Δt时间内运行的距
离,即线性空间。
双方平方并以坐标差Δxγ表示r,有
∑(3)(Δxγ)2C2
Δt2=0
他将线空间在坐标中分解为三维,时间看成第四维,可表示为:
∑(4)Δxγ2=
Δx12+Δx22+Δx32+Δx42=0
其中
x4=i l=i C ti=1
显见,上式就是:“四维商高定理的守恒式”,然后他将它经特殊洛伦兹坐标变
换,得:
x1′=x1cosφ-x2sinφ
x2′=x1sinφ+x2cosφ
x3′=x3
x4′=x4
x1′=x1cosφx4sinφ
x4′=x1sinφ+x4cosφ
x2′=x2
x3′=x3
两组新旧坐标值关系,其中,
x1′=x1cosφ-i lsinφ
l′=-i x1sinφ+l cosφ
当x1′=0,有x1=v l,因此,
v=itgφ
sinφ=-i v1-v2

cosφ=11v2

x1′=x1-v l1-v
2
l′=l-vx11-v2
参看,爱因斯坦,相对论的意义,科学出版社,1
979年。
这种三维空间加一维时间的四维旋转变换仍离不开三角函
数守恒关系
1=cos2φ+sin2φ
我们看到他重点是获取x1与x4的变换,实际是空间与时间的守恒关系
,空间减少是因为时间延长,或相反。
抛开上述爱因斯坦的数学推导,现在假如有
yx=1
将y也类似当成三维,x为一维虚值,也会建立
∑(3)Δy2Δx2=0
(以坐标差表示)
最后仍可得到y/x=1的恒等式
1=cos2θ+sin2θ
然而爱因斯坦所得结果充填了物理内容,后者的y/x=1未加入物理内容,纯是
数学关系。之所以同时例举对比,用意在于它们的逻辑是同一的,不论它们各
自解释的对象有多么大的差别,都无关紧要。
那么,如果或然率函数的一般式是
y=e-x2
是量子力学所赖以描述的数学模型,相关于微观物质世界运动,我们就找到了
“单纯或然世界”与“因果必然世界”数学的逻辑的相关道路:
(1)由数学关联导出物理实在。
在“各相对数的或然性关系”一节已知
cosθ=e-x2tgθ=e2
x2-1
若爱因斯坦给出
cosθ=11v2
则1v2=ex2
v=1e2x2
=ie2x21
故v=itgθ
此式恰恰是爱因斯坦获得的公式之一。
(2)由物理实在导出数学关联
相对论给出
sinθ=-i v1-v
2
又因v=ie2x21
ex2=1-v2
sinθ=1e-2x2
cosθ=e-x2
反推亦然。
因此,可知狭义相对论各式与或然率函数描绘的量子力学粒子运动有相互对应
的物理学意义。在狭义相对论看来是虚值的物理世界恰恰是或然率函数描绘量
子力学的实值物理世界。由于“参考系”不同,各自描述的物质运动互为虚实
,所争所论的实质是同一规律的两个对称面。也可认为,宇宙运动规律(为相
对论阐述)与粒子运动规律(为量子力学阐述)雷同。
此时,我这样说,仅就数理推断的某个别关系而言,因此排除实验与观测对此
结论的验证。
(五)数学的代数关联
大家知道,导数定义给出了求导数的一个构造性算法,而
不定积分的定义却没有这个特点,且初等函数的导数仍是初等函数,不少初等
函数的不定积分却不是初等函数,或者说就现有的不定积分定义和积分法则解
决不了某些初等函数的不定积分。
但是蒙特卡逻给了我们一个求定积分的“普遍适用法”、“统一法”,它不必依
赖积分公式,对任意形式函数的定积分,只要取范围
0≤x≤1
0≤f(x)≤1
定积分
10f(x)dx
都等于概率频率m/n的极限:
limn→∞mn=10f(x)dx
现在已经知道,它对解线性方程组、微分方程已有专门的电子计算机用程序,
很快可获解。
这项“统一”法的意义在于概率值表达的数能够与定积分建立直接关系。笔  
者发现,蒙特卡罗理论的建立与蒲丰求圆周率π直接相关,或者说,蒙特卡罗
法所求的数(定积分)与弧度数直接相关,所以它与相对数相关。
既然计算机能够代替人的行动,使随机量(实验次数)趋近绝对无穷大,那么
就一定可以通过相对数找到相
对无穷大取代绝对无穷大,即找到两种无穷大间的变换,达到依靠仅有的计算
关系而不是依靠计算机来实现我们要求的数(积分)。
事实上,这就是存在一个与微分的构造性定义算法相类似的表达积分的定义,
任意函数的积分都可以该定义的算法求得。弧度数与绝对数的变换关系就是这
种关系:
设一个待求的定积分
y=x0φ(x)dx
y=dydx=φ(x)
为已知函数
因为曲线y上处处的切线与水平轴夹角τ的正切值等于导数值
dydx=tgτ
故τ=Arc tg(dy
dx)
=Arc tgφ(x)
=φ(x)0dφ(x)1+φ(x
)2(公式)
则
dτdφ(x)
=11+φ(x)2
设函数φ(x)连续,可导,令
dφ(x)dx=y″
有
dτdφ(x)dφ(x)dx=y″1+φ
(x)2
=dτdx
另一方面
y=dydx=
tgτ
=sinτcosτ=-
(cosτ)cosτ
=ddτ(-
ln  cosτ)
则

τotgτdτ=-ln  cos
τ

y=〔-ln  cosτ〕·dxdτ
最后得到
y=(1+y2y″)ln〔
sec{Arc  tg(x)}〕
——(y)
也可写成
secτ=eyM
cosτ=e-yM
(y)式就是原函数的“构造性定义”,通过运算过程可知,它就是“数弧变
换”,是一种自然对数。
现在对它求导、校验,观察是否正确。
公式
(lnf)=ffd
vn=nvn-1dv
d  secτ=sinτcos2τdτ
令M=1+y2y″
则
y=ddx
〔sec{Are  tg(y)}〕M〔sec{A
rc  tg(y)}〕M
=M·ddx〔
sec{Arc  tg(y)}〕sec{Arc  t
g(y)}
=M·tgτ·dτdx
因为M=dxdτ
得y=tgτ
验证正确。
y是任意函数,则y也是任
意函数y的原函数。导数y与原函数y的这项关联称为“数学的代数关联”。
我们看到这项关联的存在有个奇怪现象:
(1)从导数y到原函数y
产生
y=Mln  secτ的
原因ytgτ——(结果)(1)——(原因)(1)
(2)从原函数y到导函数y
只有y=tg
τ,
才有dydx
=ddx〔Mln  secτ〕=tg
τ——(原因)(2)
——(结果)(2)
这是因为
y=tgτ时,才有
M=1+y2y″=se
c2τsec2τ=1
才有
ddxy=ddx〔Mln  secτ〕=d
dxln  secτ=tgτ
如果要y=tgτ(原因)(2),何必去求(结果)(2)?(
原因)(2)成为(结果)(2)这种现象正是一种悖论,我们称之为“
积分悖论”。
式(原因)(2)与式(结果)(2)是同一个,写成
(结果)(2)=(原因)(2)现象。
或者说,产生(结果)(1)与产生(结果)(2)的原因
都是(原因)(1)=(原因)(2)
●这个悖论的根源在于,如果M=1即
M=dxdτ=1
得出dx=dτ
的结论
在单位圆中dτ=dS(τ=S),有
ds=dx2+dy2
dxds=cosτdyds=sinτ
如果dτ≠ds,则引出
dτds=K
正是曲线的曲率。一般情形K≠1,因此必有K介入原函数,这里的
dxdτ=M
应理解为“曲线上任意点对于横轴之偏曲率的倒数”。偏曲率类似偏导数。K
≠1则M≠1。
●我们注意到
MK=dxdτ·
dτds
=dxds
=cosτ
=1(1+y2)1/2
=e-yM
=e-1M∫ydx
其中e-∫ydx是一阶线性微分方程的基本解。
e-1M
∫ydx有可能是更大范围微分方程的解,这里就不单作
数学分析了,有待更多智者的介入,笔者能力有限。
●以“偏曲率”角度出发,曲率K的相关,使因K≠1,则必使M≠1,观
察MM=1+y2y″
要求y″≠0,也即要求y=φ(x)可导。
(y)式的求得表明,积分问题可以是函数G
y=G〔φ(x)、φ(x)、φ″(x)〕
的代数运算(y)式来代替吗?
●此外,若考虑积分常量,可以将此常量看成原函数y的一部分。
y=Mln  secτ+Mc
●(y)式的数弧分析
令=ln  secτ,
y⌒
=Mln  secτ=M
因为数的根源是y=tgτ视为直角三角形。
y⌒
被视为弧,因为它等于M。有
y⌒
dτ=dx
出现两积分元素对等,此种状态与本文“三、圆周率π、三角函数与或然率的
多途径关联”最后求2x的积分使用方法全同。但此时已经将原函数
y⌒
与作为积分要素参加积分里来,又升了格。于是
τoy⌒
dτ=
xodx
y⌒
与在这里又成为积分对象。若令
Y⌒
=∫y⌒dτ+c
则dY⌒
dτ=y⌒
y⌒又是
Y⌒的导数
Y′⌒。同样有
=∫dx+c
则ddx=

又是的导数。故
d
Y⌒dτ
=Md
Y⌒dx
Y′⌒=M
′
可见,、、
y⌒、
Y⌒、都可以
是各阶段上的导数,同时也
是各阶段上的原函数。导数与原函数只是相对的称谓,它们应当总是“中介状
态”的(y可导)。
(六)导函数与原函数的相对性质
(导数概念的外延与原函数概念的引伸)
dydx=
tgθ
=sinθcosθ=-
(cosθ)
cosθ=ddθ(
-ln  cosθ)
=limΔθ→0-〔
ln  cos(θ+Δθ)
-ln  cosθ〕Δθ
=limΔθ→01Δ
θ·lncosθcos
(θ+Δθ)
=lnlimΔθ→0
cosθcosθ·cosΔθ-sinθ·s
inΔθ1Δθ
其中
limΔθ→0cos
Δθ=1
limΔθ→0sinΔθ=Δ
θ(一阶无穷小)
limΔθ→0tgθ·sim
Δθ=Δθ(仍为一阶无穷小)则

dydx=ln
limΔθ→0(11-Δθ
)1Δθ
=lnlimΔθ→0(
1+Δθ1-Δθ2)1Δθ

因为这里
limΔθ→0(1-Δ
θ2)1Δθ=1(参看“两个
新重要极限”)
于是
dydx=lnli
mΔθ→0(1+Δθ)
1Δθ
=ln e
=1
任意函数y=f(x)的导数都等于1。
这是一个相对于原函数存在的一般概念,它的意义为,就原函数与导数的相对性
而言,函数y的导数y可以看成为函数y的“1”,y可以看成为y的相
对无穷大,并且共同存在于自然对数关系中。它的来源过程已经指明。
从代数角度看
dydx=1
dy=dx
y+c1=x+c2
即y=x
相当于“y对y取导时,其导数等于1”。
若必有y=1
(lny)=1y
——(y=1)
y是x的函数,x是y的自变量也有
(lnx)=1x
若x是ξ的函数,ξ是x的自变量时(x仍是函数,可导)总也有
(lnξ)=1ξ等等
(y=1)中的两式同时存在,称为导数与原函数的相对性质。使用(y
=1)式可求原函数,也可求导数:
例1
已知y=nxn-1,求y。
令y=1
nxn-1=1
nxn1x=1
nxn(lnx)=1
xn(lnxn)=1
则y=xn
其中第三步到第四步使用1x=(lnx),
第四步到第五步仍用了同类公式但不同层次1y
=(lny)
例2
已知y=xn,求y。
令y=1
xn+1·1x=1

xn+1n+1(n+1)(lnx)
=1

xn+1n+1(lnxn+1)
=1
求得y=xn+1n+1(y
=1)式可以统一为一个式子
y=1=y·1y=y(lny)
即对数求导公式,但这里只是为了求导数。我们的(y=1)是双向的,可
以用来求原函数。
例3
已知y=uv+vu,求y。
令y=1
1=uv+vu
=u〔v(lnv)〕+v〔u(lnu)〕
=uv〔(lnv)+(lnu)〕
=uv〔lnv+lnu〕
=uv〔lnuv〕
得y=uv
例4
已知y=vu-uvv2,求y
令y=1
1=vu-uvv2
=uvuu-uvvv
=uv(lnu)-u
v(lnv)
=uv〔lnuv〕
得y=uv
例5
已知y=sinx=12i
(eix-e-ix),求y。
令y=y1-y2
y1=eix2iy2
=e-ix2i
令y′1=1
=y11y1=y1(lny1
)
=eix2i{(lneix
)-(ln2i)}
=eix2i(ix)
=eix2
令y′2=1
=y21y2
=y2(lny2)
=eix2i{(lneix
)-(ln2i)}
=eix2i(ix)
=eix2
因y=y′1-y′2
故

y=eix2--e-ix2
=cosx
(y=1)式可用来求原函数,也可用来求导函数。实际上,y=1的存在
,就是下式的导数
∫dyy=lny+c
d∫dyy=d(lny)
1y=ddy
(lny)1=y(lny)








如果y可导,y=f(x),则
y=y(lny)
写成y=1
更为简便。
大家已经知道,以上积分式正是反映自然界多种现象的函数关系模型,因此y
=1必然与其同价。