圆函数与双曲函数之变换

选自《运动论》第30页
圆函数与双曲函数之变换
复数及复变函数理论中已经取得
ｓｉｎｈτ＝１２（ｅτ－ｅ
τ）
ｃｏｓｈτ＝１２（ｅτ＋ｅτ）
ｔａｎｈτ＝ｅτ－ｅτｅτ＋ｅτ
使用欧拉公式
ｅｉτ＝ｃｏｓτ＋ｉｓｉｎτ
ｅτｉ＝ｃｏｓτ－ｉｓｉｎτ
立即得到
ｓｉｎｈτ＝ｓｉｎｉτｉ，
ｃｏｓｈτ＝ｃｏｓｉτ
ｔａｎｈτ＝ｔａｎｉτｉ等。
这些公式解释作：
双曲正弦及双曲正切在实轴上的数值是三角正弦与三角正切在虚轴上的数值再
除以ｉ。
双曲余弦在实轴上的数值是三角余弦在虚轴上的数值。
但是，往往问题不是这样的。
往往是首先知道三角函数的实轴数值，要变换为双曲函数表示，它们的对应关
系是怎样的？这是复变函数中没有明确的一个问题。
本文给出了
ｓｉｎτ＝ｓｉｎｈｉτｉ，
ｃｏｓτ＝ｃｏｓｈｉτ，
ｔａｎτ＝ｔａｎｈｉτｉ等。
这是因为欧拉公式有新形式
１＝ｓｅｃ２θ－ｔａｎ２θ
１＋ｔａｎ２θ＝ｓｅｃ２θ
（１＋ｉｔａｎθ）（１－ｉｔａｎθ）＝ｓｅｃ２θ
１－ｉｔａｎθ１＋ｉｔａｎθ＝
ｓｅｃ２θ（１＋ｉｔａｎθ）２

１－ｉｔａｎθ１＋ｓｉｎ
θ＝ｓｅｃθ１＋ｉ
ｔｅｎθ
＝１ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ
＝ｃｏｓθ－ｉｓｉｎθ
＝ｅｉθ——（ｅｉθ）
同时１＋ｉｔａｎθ１－ｉ
ｔａｎθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ
＝ｅｉθ——（ｅｉθ）
对它们取自然对数，有
ｌｎ１＋ｉｔａｎθ１－ｉ
ｔａｎθ＝Ａｒｃｔｈ（ｉｔａｎθ）
＝ｉθ
有ｔａｎｈ（ｉθ）＝ｉｔａｎθ
——〔ｔｈ—ｔ〕
又因ｌｎ［ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ］＝ｌｎ
［ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ－１］
＝Ａｒｃ　ｃｏｓｈ（ｃｏｓθ）
＝ｉθ
即ｃｏｓｈ（ｉθ）＝ｃｏｓθ——
（ｃｈ—ｃ）
（ｔｈ—ｔ）×（ｃｈ—ｃ）得
ｔａｎｈ（ｉθ）·ｃｏｓｈ（ｉθ）＝ｉｔａｎθ
·ｃｏｓθ
有ｓｉｎｈ（ｉθ）＝ｉｓｉｎθ
——（ｓｈ—ｓ）
（ｓｈ—ｓ）、（ｔｈ—ｔ）、（ｃｈ—ｃ）三式指出，双曲正弦、正切在虚
轴上的数值等于三角正弦、正切在实轴上的数值，然后各乘以ｉ。双曲余弦在
虚轴上的数值就是三角余弦在实轴上的数值。
由于欧拉公式的新旧两种形式共获得双曲函数与三角函数的正弦、余弦、正切
六种变换关系，我们找到了它们之间更为简便变换公式：
已有三组六个变换式
ｉｓｈΔ＝ｓｉｎ（ｉΔ）
ｓｈ（ｉτ）＝ｉｓｉｎτ
ｃｈΔ＝ｃｏｓ（ｉΔ）
ｃｈ（ｉτ）＝ｃｏｓτ
ｉｔｈΔ＝ｔａｎ（ｉΔ）
ｔｈ（ｉτ）＝ｉｔａｎτ
Δ式是旧欧拉式取得的，τ式是新欧拉式取得的。若Δ＝ｉτ时，得到
ｉｓｈΔ＝ｉｓｈ（ｉτ）＝ｉｉ
ｓｉｎτ＝ｓｉｎ（ｉｉτ）
＝－ｓｉｎτ＝ｓｉｎ（－τ）
ｃｈΔ＝ｃｈ（ｉτ）＝ｃｏｓτ＝ｃｏｓ
（ｉΔ）＝ｃｏｓ（ｉｉτ）
＝ｃｏｓ（τ）
ｉｔｈΔ＝ｉｔｈ（ｉτ）＝ｉｉ
ｔａｎτ＝ｔａｎ（ｉｉτ）
＝－ｔａｎτ＝ｔａｎ（－τ）
若τ＝ｉΔ时，有
ｉｓｉｎτ＝ｉｓｉｎ（ｉΔ）＝ｉｉ
ｓｈΔ＝ｓｈ（ｉτ）
＝ｓｈ（ｉｉΔ）＝ｓｈ（－Δ）
＝－ｓｈΔ
ｃｏｓτ＝ｃｏｓ（ｉΔ）＝ｃｈΔ＝ｃｈ（ｉτ）
＝ｃｈ（ｉｉΔ）
＝ｃｈ（－Δ）
ｉｔａｎτ＝ｉｔａｎ（ｉΔ）＝ｉｉ
ｔｈΔ＝ｔｈ（ｉｉΔ）
＝－ｔｈΔ＝ｔｈ（－Δ）
这些结果与以往所得它们的负角函数完全一致，并兼获它们间对应的变换关系
。
从中不难看出，双曲余弦的虚、实轴就是三角余弦的实、虚轴，反之亦然。