新的“余数公式M式”特性引伸
摘自《运动论》400—417页
下载——（Ｍ） 它由鲁卡斯数衍化而来，但不同于鲁卡斯数。其中 α＝１２（５＋１ ） 式中α的指数ｒ与Ｍ中的除数ｒ是同一个数，因此它可以两种形式表示： ａ．指数形式 ｒ＝αｒＭ ｂ．对数形式 ｒ＝ｌｎ（Ｍｒ）ｌｎα ａ、ｂ两种ｒ式都是Ｍ的反函数，因此正函数只有一个（Ｍ）式。 １．（Ｍ）的反函数之一，ａ中指数形式的ｒ求值法（指数形式以ｒ’表示） 。 ｒ＝αｒＭ 对于这种特殊的隐函数，最好的求值法是无限迭代法。 首先取ｒ０＝１，有 ｒ１＝αｒ０Ｍ＝ αＭ 然后再以ｒ１取ｒ２ ｒ２＝αｒ１Ｍ 然后再以ｒ２取ｒ３ ｒ３＝αｒ２Ｍ 当令ｎ→∞时，下式成立 ｌｉｍｎ→∞ｒｎ→ｃｏｎｓｔ 注意，这是某一个Ｍ值（一定）时的ｒｎ值，当Ｍ值改变后，ｒｎ则 也变为另一个定值。而每一个ｒｎ都是在无限次ｎ的人为代入后产生的。 这种迭代可表示如下 ｒｎ＝αＭ αＭαＭｎ ∞ 其中，每一个αＭ都是下一个α的幂指数。 上面两种表示法都很繁琐，我们给了它们一个特定的“函数关系符号” ｒｎ＝〔αｒ０→（ｎ－１）Ｍ〕∞↑ｎ ——Φ〔Ｍｒ０→（ｎ－１）〕 ｒ０→（ｎ－１）为自ｒ０到ｒｎ－１， ｎ为人为迭代的次数，趋近于无穷大，每一个ｒｎ只对应Ｍ的一个数值， 当Ｍ≥α时，ｒｎ≤１。 ｒ０取为１可以使ｒｎ的取得快捷，使ｒ０→ｒｎ的中间计 算路程缩短。当然也可以取ｒ０为任意其它正数。 表５列出了Ｍ从最小值１４００ ７９４ ２１１到１３时ｒ′ｎ的数值 ，仅作参考（Ｍ≥α，ｒｎ≤１）。 表５ Ｍ ｒｎＭｒｎ１４００ ７９４ ２１１１４００ ７９４ ２１１８０１３３ ２９９ ６４α１９０１１７ ５７９ ０８２２０ ７ ００ ３９７ １０５９２４２５９２６２４０１１４ ３１３ １５９３０４０５ ０７３ ８１１００１０５ １９２ ２８５４０２８７ ０２８ ８０５１１ ００９５ １６９ ２１９５０２２２ ６１４ ６３ １２００８６ ８９１ ６４８６０１８１ ９１４ １８５１３００７９９ ３９８ ０３７０１５３ ８３３ ６３５０５９５ ６６４ １１ ３(只取到小数9位) 表中给出几个特殊Ｍ值的ｒｎ数： （１）Ｍ１４＝１４００ ７９４ ２１１…时，ｒ１ ４＝１４００ ７９４ ２１１…， 由此点开始，若Ｍ仍为大于１的正整数，可使用“ｂ．对数形式” ｒｎ＝ｌｎ（Ｍｒｎ）ｌｎα 计算Ｍ＜１时的ｒ′ｎ，不必用Φ〔Ｍ，ｒ′０→（ｎ－１）〕式。当然 也可以继续使用Φ〔Ｍ，ｒ′０→（ｎ－１）〕式，令Ｍ＜１计算ｒ ｎ。由于找到ｒ′１．４＝１４００ ７９４ ２１１……点，说 明指数形式ａ与对数形式ｂ是统一的，它们只因Ｍ范围不同才有不同形式。 （２）Ｍ＝５时，ｒ′ ５ ＝０５９５ ６６４ １１３… ｒ′ ５ 对于斐波那契数列的应用很有价值，故列入表中。 （３）Ｍ＝９２４２ ５９２ ６２４…时，使 ｒ′ｎ＝Ｍ（＝９２４２ ５９２ ６２４…） 则ｒ′ｎＭ＝ｒ′２ｎ＝αｒｎ（ｒ′ｎ＞１） 得ｒ′ｎ１ｒｎ ＝α１２ 此式在这里仅作说明用。 ２．（Ｍ）式的反函数之二，ｂ对数形式的ｒ求值法（ｒ不加“”）。 ｒ＝ｌｎ（Ｍｒ）ｌｎα 仍采用无限次迭代法。 首先取ｒ０＝１，Ｍ为某定值， ｒ１＝ｌｎ（Ｍｒ０） ｌｎα＝ｌｎＭｌｎα 再取ｒ２， ｒ２＝ｌｎ（Ｍｒ１） ｌｎα 再取ｒ３， ｒ３＝ｌｎ（Ｍｒ２） ｌｎα 当ｎ→∞时，仍有 ｌｉｍｎ→∞ｒｎ→ｃｏｎｓｔ 每一个Ｍ值的无限次迭代后，都对应一个ｒ值。我们为减少繁琐，也给它一个 特定的函数关系符号 ｒｎ＝〔ｌｎＭｒ０→（ｎ－１） ｌｎα〕ｎ→∞—— ｆ〔Ｍｒ０→（ｎ－１）〕 ｒ０→（ｎ－１）表示ｒ０到ｒｎ－１， ｎ为人为迭代的次数，趋近无穷大 每一个ｒｎ只对应一个Ｍ值， 当Ｍ≥α时ｒｎ≥１，表６列出 了Ｍｍｉｎ＝１４００ ７９４ ２１１…到Ｍ＝１３时的ｒｎ数值（Ｍ≥α， ｒｎ≥１）。 表６ ＭｒｎＭｒｎ１４００ ７９４ ２１１…１４００ ７９４ ２１１ ７８４８８ １０３ ４１２α１８８８ ５３ ０８０ ４８６２４６２１ ２９６ ３１２ ９９１７１ ２０７ ５９６５５０２８ ７３７ ３７５９２４２ ５９２ ６２４９２ ４２ ５９２ ６２４３６００９ ８５３ ７８６１０ ９４５３ ０５８ ２３４４６８９２ ４２７ ７６ ９１１９７０５ ９９３ ５２３５７５４３ ７ ９４ ７７８１２９９３５ ３４４ ３４７６８ ０６０ ２９６ ００４１３１０１４５ ０９５ ０４(只取到小数9位) 由表６中看到 （１）ｒｎ≥１（Ｍ≥α时） （２）Ｍ１４＝１４００ ７９４ ２１１…时， ｒ１４＝１４００ ７９４ ２１１… Ｍ１４＝ｒ１４此点在４５°分角线上，恰好 Φ〔Ｍｒ１４〕＝ｆ〔Ｍｒ１４〕 说明此时两条曲线Φ、ｆ在ｒ１４＝ｒ１４点衔接。Φ〔 Ｍｒ０→（ｎ－１））在ｒ值≤１４００ ７９４ ２１１区域， ｆ〔Ｍｒ０→ｎ－１）〕在ｒ值≥１４００ ７９４ ２１１区域。 （３）Ｍ９２＝９２４２ ５９２ ６２４…时， ｒ９２＝９２４２ ５９２ ６２４…， Ｍ９２＝ｒ９２此点在４５°分角线上， 也有ｒ９２·Ｍ９２＝ｒ２９２＝αｒ ９２ ｒ１ｒ９２ ９２＝ α１２ 此时，可以将Φ〔Ｍｒ０→（ｎ －１）〕与ｆ〔Ｍｒ０→（ｎ－１）〕两函数按表５、表６数据画出 相互衔接的曲线于坐标ｒｏＭ中（如图１７）。 图１７ 这是一条极特殊的曲线。 ３．正函数（Ｍ）的求值法及其曲线 如果将（Ｍ）式 Ｍ＝αｒｒ 仍置于Φ〔Ｍｒ０→（ｎ－１）〕和ｆ〔Ｍ，ｒ０→（ｎ－１）〕 的同一坐标ｒｏＭ中，此时应当是ｒ轴 与Ｍ轴调换成Ｍｏｒ。 （Ｍ）的求值是正常的，每给定一个ｒ值都对应有一个Ｍ值，作０≤ｒ≤＋∞ 的Ｍ曲线，如图１７所示。恰恰（Ｍ）曲线与Φｆ曲线对称于π４角直线。 在这里（Ｍ）曲线由一个函数关系作出，不像ｒ＝Φ，ｒ＝ｆ是两个函数组 成一条曲线。 ４．函数（Ｍ）及反函数ｒ＝ｆ，ｒ＝Φ的性质与它们的关系 （１）函数（Ｍ）有极小值， Ｍ＝αｒｒ Ｍ′＝ｄＭｄｒ，ｄｒ ｄｒ＝１ ＭＭ＝（ｌｎＭ）＝ｄ ｄｒ（ｌｎＭ） （ｌｎＭ）＝〔ｌｎαｒｒ〕 ＝〔ｌｎαｒ－ｌｎｒ〕＝（ｒｌｎα）－（ｌｎｒ） ＝ｒｌｎα－１ｒ 这里ｒ是ｒ的导数，ｒ＝ｄｒ／ｄｒ＝１ （ｌｎＭ）＝ｌｎα－１ｒ 极值处的Ｍ′＝０，故 （ｌｎＭ）′＝０ ｌｎα－１ｒ＝０ ｒｍｉｎ＝１ｌｎα＝２０７８ ０８６ ９２２… Ｍｍｉｎ＝αｒｍｉｎｒｍｉｎ ＝１３０８ ０６９ ３６… （——ｒｍｉｎ仅记为Ｍｍｉｎ的ｒ值） ｒｍｉｎ与Ｍｍｉｎ说明： ①ｒ＞ｒｍｉｎ或ｒ＜ｒｍｉｎ时（Ｍ）式的Ｍ值都增长。当ｒ →０时，Ｍ→∞。ｒ→∞时，Ｍ→∞。 ②对于ｒ＝ｆ（Ｍ）与ｒ＝Φ（Ｍ）以及（Ｍ） Ｍ＜Ｍｍｉｎ不存在。 当Ｍ＞Ｍｍｉｎ时，Ｍ＝αｒｒ＝αｒｒ。 这是个极其重要的性质。因此有 ｒｒ＝αｒαｒ ——（ｒ／ｒ）。 又因Ｍｒ＝αｒ，Ｍｒ＝αｒ 有ｒｒαｒ＝αｒ ｒｒｎαｒ＝ｎαｒ ｒｒｎαｒ±ｍｒｒｒ ＝ｎαｒ±ｍｒｒｒ ｒｒ〔ｎαｒ±ｍｒ〕＝ｎαｒ±ｍｒ ｒｒ＝ｎαｒ±ｍｒｎαｒ ±ｍｒ——（ｒ／ｒ） 得到（ｒ／ｒ）０＝（ｒ／ｒ）式，指出将式（ｒ／ｒ） ０的分子与分母同时加或减ｍｒ与ｍｒ，其商不变。其中ｎ、 ｍ为任意实数、虚数，其范围极大。 由（Ｍ）式我们看到，Ｍ值可以是任何正数，即ｒ值可正（ｒｒｍｉｎ ）。从算术角度出发，只研究正值ｒ、Ｍ时，当 ｒ＝ｒ＝ｒｍｉｎ ｒｒ＝ｒｍｉｎｒ ｍｉｎ＝１ 是比值ｒ／ｒ的最小值。 由于（Ｍ）函数是连续、可导的，故比值ｒ／ｒ的运 动区间为 １（ｒ／ｒ）≤＋∞ 并可取该区间内的任何数值。 例：取ｒ／ｒ＝２，求ｒ，ｒ 同时有αｒ－ｒ＝２ ｌｎ２ｌｎα＝ｒ－ｒ ＝２ｒ－ｒ ＝ｒ 则ｒ＝２ｒ＝２ｌｎ２ｌｎα 于是由（ｒ／ｒ）０式看到，大于１的正数都可以表示为 Ｎ＝ｒｒ＝αｒα ｒ（１≤Ｎ≤＋∞） 型的除法关系。 按算术除法规则，我们可以理解型如 ｒｒ＝ｒ±ｍｒ ｒ±ｍｒ ＝ｒ（１±ｍ）ｒ（１±ｍ）＝ｒｒ 但是，如果写作 ｒｒ＝ｒ±ｎαｒｒ ±ｎαｒ 时，就“反常”了，我们尚未理解（ｒ／ｒ）０式的来历是难 以置信的，但事实又确是如此，似乎“破坏”了算术除法规则。 关键是ｒ、ｒ并非就是除式表示的ｍ、ｎ。可以任意数 Ｎ＝ｍｎ ＝ｒｒｍ≠ｒ，ｎ≠ｒ 但比值相等。 例：如果ｒｒ＝７３，求ｒ，ｒ， 这里ｒ≠７，ｒ≠３。 因ｒｒ＝αｒ－ｒ 则ｒ－ｒ＝ｌｎ（ｒｒ ）ｌｎα ＝ｌｎ（７／３）ｌｎα 并７３ｒ－ｒ＝ｌｎ（７／３）ｌｎα ｒ＝ｌｎ（７／３）（７３－１ ）ｌｎα＝１３２０ ５６８ ９５２… ｒ＝７３×１３２０ ５６８ ９５２… 因有 ｒ＝（１Ｎ－１）ｌｎＮｌｎα ｒ＝（ＮＮ－１）ｌｎＮ ｌｎα αｒ＝Ｎ（１Ｎ－１） αｒ＝Ｎ（ＮＮ－１）＝αＮｒ Ｍ＝αｒｒ＝α ｒｒ ＝Ｎ（ＮＮ－１）ｌｎα（ ＮＮ－１）ｌｎＮ＝Ｎ （１Ｎ－１）ｌｎα（１Ｎ－ １）ｌｎＮ 可是Ｍ＝ ｌｎαｌｎＮ Ｎ（ＮＮ－１） －Ｎ（ＮＮ－１） Ｎ＝αｒｒ Ｍ＝ｌｎαｌｎＮ 〔ＮＮ（１ Ｎ－１）－Ｎ（１Ｎ－１） 〕＝αｒｒ——（Ｍ） 显然，从这里得到一项算术基本法则： Ｎ·Ｎ（１Ｎ－１）＝ＮＮＮ－１）——（ＮＷ） 当Ｎ＞０时，令 Ｎ（１Ｎ－１）＝Ｗ（＝αｒ ）——（Ｗ） 则ＮＷ＝ＷＮ（＝αｒ） “数Ｗ的Ｎ倍等于Ｗ的Ｎ次幂”。 当Ｎ＜０时（ＮＷ）式左边代入＿Ｎ （＿Ｎ）（＿Ｎ）１－（Ｎ＋１） ＝ （－Ｎ）（－１）－１Ｎ＋１ Ｎ－１Ｎ＋１ ＝（－１）１·（－１）１Ｎ＋１·Ｎ ＮＮ＋１ ＝（－１）Ｎ Ｎ＋１·ＮＮＮ＋１ （ＮＷ）式右边代入＿Ｎ （－Ｎ）－Ｎ－（Ｎ＋１）＝（－１） ＮＮ＋１·ＮＮＮ＋１=（－１）ＮＮ＋１·ＷＮ 故 （ＮＷ）式左边＝（ＮＷ）式右边 由此得到：无论Ｎ＞０或Ｎ＜０，数Ｗ的Ｎ倍都等于数Ｗ的Ｎ次幂。当Ｎ＞０ 时，ＮＷ＝ＷＮ都是实数，当Ｎ＜０时，ＮＷ＝ＷＮ等于虚数。 当Ｎ＝－１时 （－１）ＮＮ－１＝（－１）１２＝－１＝ｉ （－Ｎ）－Ｎ－（Ｎ＋１）＝（－１ ）１２＝－１ ——（１） 得到虚数单位ｉ＝－１，由这里可以理解（ＮＷ）式是 虚数产生的算术根源，数论与复数的关联。当Ｎ＝ｌｉｍ Δ→１∞（１＋Δ）时， （１∞＝无穷小） Ｗ＝Ｎ１Ｎ－１＝ ｌｉｍ Δ→０（１＋Δ）１Δ ＝ｅ（纳别尔数） ＝２．７１８ ２８１ ８２８ ４５９ ０４５… 当Ｎ＝ｌｉｍΔ→１∞（ １－Δ）时，（１∞→０＝无穷小） Ｗ＝Ｎ１Ｎ－１＝ ｌｉｍ Δ→０（１－Δ）－１Δ ＝ｅ（纳别尔数） 由此，可理解（ＮＷ）式是产生极限 ｅ＝ｌｉｍΔ→０（１＋Δ） １Δ 的根源，数论与微积分的关联。 事实上，微积分的基础唯“ｅ”一个极限，是建立在极限“ｅ”上发展起来的 。因为另一个重要极限。 ｌｉｍｘ→０ｓｉｍ ｘｘ＝１ 中的正弦也是极限ｅ的函数 ｓｉｎｘ＝ｅｉｘ－ｅ－ｉｘ２ｉ（ｉ＝－１） 因此，若说微积分是建立在两个重要极上发展的，莫如更确切地说只是极限“ ｅ”的延展与衍化。 当我们到得（ＮＷ）、（Ｗ）、（Ｍ）各式，并在其中含有（ｍ）式、－１、ｅ后，我们就得到了算术是复数、复变函数、微分、积 分的大统一根源的结论。把它们的这些“关系”叫做“关联”有些勉强，从本 文几个式子的由来可见，在一个算术法则中存在着高等数学基本要素，显示了 它的庞大，同时它们不是平行关系，而是根、干、枝的关系。 （２）三条曲线（Ｍ）、ｒ＝ｆ（Ｍ）与ｒ＝Φ（Ｍ）汇交于两点 ｒ＝ｒ＝１４００ ７９４ ２１１…＝Ｍ ｒ＝Ｍ＝９２４２ ５９２ ６２４… 是三个函数的特殊关系点，此时有 Ｍ＝ｒ＝αｒｒ ｒ２＝αｒ ｒ１ｒ ＝α１２ 同时有 Ｍ＝ｒ＝αｒｒ ｒ２＝αｒ ｒ１ｒ ＝α１２ 得到 ｒ１ｒ＝ ｒ１ｒ ——（α１２） ＝α１２ 或２＝ｒｌｎαｌｎｒ＝ ｒｌｎαｌｎｒ 由（α１２）式，又得到 ｒ１ｒｎｎ＝ｒ′ １ｒｎｎ＝α １ｎ ——（α１ｎ） ｎ＝ｒｎｌｎαｌｎｒｎ ＝ｒｎｌｎαｌｎｒｎ 任意ｎ值的ｒｎ、ｒｎ求算仍用ｆ（ｎ）、Φ（ｎ）式 ｒｎ＝ｌｎｒ０→ｋ１ｎｌｎα ｋ→∞＝ｆ（ｎ） ｒ′ｎ＝αｒ０→ｋｎ ∞↑ｋ＝φ（ｎ） 如ｎ＝３，４，５，６，７的ｒｎ、ｒ′ｎ值列于表７： 表７ ｎｒｎｒｎ３１８０２９ ５６０ ８８…１２ １５ ２２１ ４３…４２７５６９ ７１１ ０６ …１１４８ １１５ ２２…５３７７１８ ９７４ ８…１１１３ ０７３ １５…６４８３６１ ７７７ ６５…１０９１ ４８５ １１…７５９４１６ ７２ ５ ９１…１０７６ ８３５ ４１… 可以用同法求出更多ｎ的ｒｎ、ｒ′ｎ值。 从（α１ｎ）式看到一个奇特的现象 ｒｒ′ｎｎ＝ｒ′ｒｎｎ ｒｎ的ｒ′ｎ次幂等于ｒ′ｎ的ｒｎ次幂。 曲线（Ｍ）、ｆ（Ｍ）、Φ（Ｍ）构成的“素数规律”曲线仅是ｎ＝２时的型 状，当ｎ→∞时， ｒｎ→∞ｒ′ｎ→１ 我们注意到 １４００ ７９４ ２１１…≥ｒ′（２≤ｎ≤＋∞）≥１ 就是说，有限区域〔１≤ｒ′ｎ≤１４００ ７９４ ２１１…）与无限 区域（＋∞≥ｎ≥２〕相对应，但它们都是半封闭的。 通过〔１≤ｒ′ｎ≤１４００ ７９４ ２１１…）线段的（Ｍ）、ｆ（ ｎ）、Φ（ｎ）曲线有（＋∞≥ｎ≥２〕多条，每一个ｎ值的函数曲线都有两 点在ｒｎ＝ｒ′ｎ＝Ｍ直线上。 所谓“素数规律”曲线只为醒目，实际上，素数规律仅存在于ｎ＝２时的ｒ ｎ部分曲线上，且尚未减去（１＋α－ｒ）／ｒ，并不是很明显的。 ５．由于（α１２）、（α１ ｎ）式，我们还可以将“素数规律”的（ｍ）式表达为（α１ｎ）形式： ｒ１ｒｎｎ＝α１ ｎ 则ｒｎｎ＝αｒｎ 有ｒ（ｎ－１）ｎ＝αｒｎｒｎ显然ｒ（ｎ－１）ｎ＝Ｍ ＝ｍ＋Δ 因而ｒｎｎ＝αｒｎ ＝ｒｎｍ＋ｒｎΔ ＝（ｒｎｍ＋１）＋（ｒｎΔ－１） 其中ｒｎｍ＋１＝αｒｎ－α－ｒｎ ＝ｒｎｎ－ｒ－ｎｎ ｍ＝ｒ（ｎ－１）ｎ－ｒ－（ｎ＋１）ｎ －ｒ－１ｎ ｎ＝ｒｎｌｎαｌｎｒｎ——（ｍ，ｎ） 同样，使ｍ为正整数的奇数ｒｎ必为素数（ｒｎ≥３），否则，ｒｎ合 数。 例：设ｒｎ＝７，求ｎ后代入（ｍ，ｎ）式 有ｎ＝７ｌｎαｌｎ７＝１７３１ ０５ ７ ７１４… ｍ＝７（ｎ－１）－７－（ｎ＋１）－７ －１ ＝４ ｒｎ＝７是素数 显示了“ｒ数”的作用。 我们从双曲函数关系中知道，实数都可表示成（虚数另式） 公式ｒ＝ｃｏｓｈ（ｌｎｒ）＋ｓｉｎｈ（ｌｎｒ） 德·莫弗公式＝〔ｃｏｓｈ（１）＋ｓｉｎｈ（１）〕 ｌｎｒ ＝ｅｌｎｒ 故ｅ＝ｒ１ｌｎｒ 两边的ｌｎαｒ次幂 ｅｌｎαｒ＝ｒ（ｌｎαｒ ｌｎｒ） 因ｎ＝ｌｎαｒｌｎｒ ｅｌｎαｒ＝αｒ， 也得αｒ＝ｒｎ 即（α１ｎ）式。 由已知的双曲函数证得（α１ｎ）式，仅此而已 ，单纯的数学关系推导，尤其不能表现ｒ的存在，毫无新的数学意义。 （ｍ）式也可表示成为双曲函数形式，其中 αｒ－α－ｒ＝２ｓｉｎｈ（ｌｎαｒ） 则ｍ＝２ｓｉｎｈ（ｌｎαｒ）－１ｒ ６鲁卡斯数列Ｌｎ的两个形态 Ｌｎ＝αｎ＋（－１）ｎα－ｎ 若令α－１＝β，ｎ为偶数与ｎ为奇数的Ｌｎ可同时写为 Ｌｎ＝αｎ±βｎ 因α＝５＋１２，β＝ ５－１２ 则Ｌｎ＝〔５＋１２〕ｎ±〔５－１２〕 ｎ ２ｎ＝αｎ２ｎαｎ±βｎ±βｎ２ｎαｎ±βｎ 得 １＝１１＋β２ｎ＋ １α２ｎ＋１ １＝１１－β２ｎ－１α ２ｎ－１——（ｕ） 我们又获得两个同类更为广义的斐波那契数列封闭式，推演过程消除了２ｎ ，所以知道鲁卡斯数列仅是关于２ｎ的一种（ｕ）式，因此可以（ｕ）式随意 发展。 ７．鲁卡斯数与斐波那契数的一个简单关系 除了Ｆｎ＝１５Ｌ （ｎ－） 外，还找到整数系数关系。 Ｌ（ｎ－）＝αｎ－（－１）ｎα－ｎ 鲁卡斯数Ｌｎ＝αｎ＋（－１）ｎα－ｎ， α＝１２（５＋１）， ｎ≥２时 有Ｌ１＝１，Ｌ２＝３，Ｌｎ＝Ｌｎ－２＋Ｌｎ－１ 递推关系。 我们注意到 Ｌ３＝（Ｌ１＋Ｌ２）＋０×Ｌ２ Ｌ４＝Ｌ２＋Ｌ３＝Ｌ２＋（Ｌ１＋Ｌ２） Ｌ５＝Ｌ３＋Ｌ４＝２（Ｌ１＋Ｌ２）＋Ｌ２ Ｌ６＝Ｌ４＋Ｌ５＝３（Ｌ１＋Ｌ２）＋２Ｌ２ Ｌ７＝Ｌ５＋Ｌ６＝５（Ｌ１＋Ｌ２）＋３Ｌ２ Ｌ８＝Ｌ６＋Ｌ７＝８（Ｌ１＋Ｌ２）＋５Ｌ２ …… Ｌ１３＝Ｌ１１＋Ｌ１２＝８９（Ｌ１＋Ｌ２）＋５ ５Ｌ２ Ｌ１４＝Ｌ１２＋Ｌ１３＝１４４（Ｌ１＋Ｌ２）＋ ８９Ｌ２ 即Ｌｎ＝Ｆｎ－２（Ｌ１＋Ｌ２）＋Ｆ ｎ－３ Ｌ２ Ｌｎ＝４Ｆｎ－２＋３Ｆｎ－３—— （Ｌｎ＝Ｆｎ－２，３）
